Mesure invariante \(\mu\)
Mesure finie et non nulle qui est invariante par la
Transition d'une
Chaîne de Markov. $$\mu Q=\mu$$
- il vient immédiatement \(\mu=\mu Q_n\), \(\forall n\in{\Bbb N}\)
- on définit \({\Bbb P}_\mu:=\) \(\sum_{x\in E}\mu(x){\Bbb P}_x\)
- ainsi, \({\Bbb P}_\mu(X_1=y)=\) \(\mu(y)\)
- interprétation : la loi sous \({\Bbb P}_\mu\) de \((X_1,\dots)\) est la loi de \((X_0,X_1,\dots)\)
- on peut construire une mesure invariante à partir de tout Etat récurrent \(x\) en posant : $$\mu:y\mapsto{\Bbb E}_x\left[\sum_{k=0}^{H_x-1}\Bbb 1_{\{X_k=y\} }\right]$$
- on a alors \(\mu(y)\gt 0\) \(\iff\) \(y\) est dans la même Classe de récurrence que \(x\)
- on a unicité de la mesure invariante dans une Chaîne de Markov récurrente irréductible (à une constante multiplicative près)
